Un vector es un segmento de recta dirigido.
• Características:
◦ Magnitud (longitud o norma): representa la distancia desde el punto
inicial y el punto final.
◦ Dirección: ángulo con respecto a la horizontal dado en
radianes.
Para
vectores en R2 se obtiene de la siguiente forma:
tan
=
(y/x)
• Notación:
• Componentes de un vector: son los vectores que se obtienen al
proyectarlo sobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen
del vector.
Podemos expresar el vector v como [4, 3], indicando con ello que su componente "x" es 4 y su componente "y" es 3.
Podemos expresar el vector v como [4, 3], indicando con ello que su componente "x" es 4 y su componente "y" es 3.
• Vector en posición estándar: vector cuyo punto inicial es el origen (0,0).
En general si
un vector esta definido por dos puntos P y Q, en donde: P(x1, y1) y Q(x2,y2),
entonces el vector en posición estándar es: V = (x2-x1,
y2-y1)
• Vector unitario estándar: vectores de módulo o magnitud 1. Los vectores
i= [1,0,0]; j= [0,1,0] y k=[0,0,1] son llamados vectores unitarios
estándar.
Dado un vector distinto de 0, es posible encontrar un vector unitario en la misma dirección que v, al dividir v por su propia longitud. A este proceso se le conoce como normalizar un vector.
• Vector renglón: es una matriz de dimensiones 
, esto es, una matriz formada por una sola fila de 
elementos.
, esto es, una matriz formada por una sola fila de elementos.
• Vector columna: es una matriz de dimensiones 
, esto es, una matriz formada por una sola columna de 
elementos.
• Vectores en Rn: se le llama el “espacio euclideano n-dimensional". Los casos que nos interesan son aquellos donde n = 1, 2, 3.
R2 es el plano cartesiano:
R3 es el espacio usual de tres dimensiones:
, esto es, una matriz formada por una sola columna de elementos. • Vectores en Rn: se le llama el “espacio euclideano n-dimensional". Los casos que nos interesan son aquellos donde n = 1, 2, 3.
Es decir, R1 = R,
R2 y R3.
R es la recta numérica: R2 es el plano cartesiano:
R3 es el espacio usual de tres dimensiones:
• Vector
0 o vector nulo: es un vector cuya magnitud es cero y no tiene
una dirección
definida, es decir un punto en el plano cartesiano.
v = [0,0]
• Negativo de v:
◦ -v = [-x,-y] el negativo de v tiene igual magnitud
que v y su dirección es dada por:
◦ v = [2,3] -v = [-2,-3]
• Vectores equivalentes: son aquellos que tienen igual magnitud e igual dirección.
• Vectores paralelos: son múltiplos escalares uno del otro con dirección
igual u opuesta.
• Vectores ortogonales: vectores que difieren
en
◦ Pista: se puede obtener el vector ortogonal a
v = [x,y] intercambiando x
y y, cambiando el signo de solo uno de
sus componentes.
• Propiedades algebraicas de vectores en Rn:
• Normalización de un vector: encontrar un vector unitario en la misma
dirección.
• Combinación lineal
de vectores: Un vector v es una combinación lineal de
vectores [v1, v2,
..., vk] si existen escalares
(coeficientes de la combinación lineal) c1, c2, ..., ck tales que v= c1v1 + c2v2 + ..., ckvk.
• Distancia entre dos vectores: es el análogo directo de la distancia
entre dos puntos en la recta numérica real o entre dos puntos en el plano
cartesiano.
• Ángulo entre dos vectores: ángulo determinado por dos vectores en
R2 o en R3, que satisfagan la siguiente condición:
0 ≤ 𝛳 ≤ 180º.
Para vectores A y B distintos de 0 en Rn:
0 ≤ 𝛳 ≤ 180º.
Para vectores A y B distintos de 0 en Rn:
• Producto punto o producto escalar: es la suma de los productos de los
componentes correspondientes de u y v. Dando como resultado un
número o un escalar, no otro vector.
Donde:
◦ u y v deben tener el mismo número de componentes
• Propiedades del producto punto:
• Producto cruz o producto vectorial: dados dos vectores
no paralelos u y v, se produce un tercer vector n que es
ortogonal tanto a u como a v.
• Propiedades del producto cruz:
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
• Desigualdad del triángulo:
• Teorema de pitágoras:
al usar la noción de
ortogonalidad, se obtiene una sencilla demostración del Teorema de Pitágoras, válido en Rn.
• Proyección de un vector sobre otro:
